拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一。

它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

高卢数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

拉格朗日定理的内容：

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:

(1)在[a,b]连续

(2)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点f(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)acb，使或f(b)-f(a)=f(c)(b-a)成立，其中acb

证明:把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

易证明此函数在该区间满足条件:

1.G(a)=G(b);

2.G(x)在[a,b]连续;

3.G(x)在(a,b)可导.

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证。

拉格朗日中值定理是沟通导数与函数的桥梁，它所蕴含的减元思想，起到了化繁为简、化难为易的作用。

但是！

但是建议复习比较充分的高三学生，再去了解这方面的知识。

一，高数的知识比较复杂，你了解起来会花费一定的时间。

二，拉格朗日定理的条件，是充分的，而不是必要的！（充分、必要代表什么，高三学生应该懂吧？），用的时候要谨慎。

嗯，希望各位高三学生复习顺利，高考顺利！

……

拉格朗日，法国数学家。

1754年开始研究数学，1766年接替了欧拉在柏林皇家科学院的职位，在那里工作达20年。

1786年去法国，先后担任巴黎高等师范学校和多科工艺学校教授。

他是18世纪仅次于欧拉的大数学家，工作涉及数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法、力学、天文学等许多领域。

在数学上，他最早的重要贡献是1859年解决了等周问题，从而开创了变分问题分析形式的一般解法。

1766～1787年是他科学研究的多产时期，1766～1773年，他在数论方面做了一系列研究，1766年证明了所谓佩尔(Pell)方程(x-Ay=1)的解的存在性，1770年证明费马的著名命题，每个正整数可表为至多4个平方数之和；

1771年证明了著名的所谓威而逊(Wilson)定理;

1773年关于整数的型表示问题获得关键性成果。

1767～1777年，他又系统地研究了代数方程论，引入对称多项式理论，置换理论及预解式概念，指出根的排列理论是整个问题的真谛，对后来伽罗华的工作产生了重要影响。

在这期间，他还在微积分、微分方程、力学、天文学领域广泛开展研究，导致了他的两部不朽巨著《分析力学》(1788)、《微分原理中的解析函数论》(1797)。

著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日余项、拉格朗日方程，对黎卡提方程的重要研究，对线性微分方程组的研究，对奇解与通解的联系的系统研究，都是这一时期的工作。

他也是最先试图为微积分提供严格基础的数学家之一，这使他成为实变函数论的先驱。他还以在数学上追求简明与严格而被誉为第1个真正的分析学家。

拿破仑曾评价说：“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”

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